۱. نظریه گراف و شبکه‌های پیچیده (Graph Theory & Complex Networks)

نظریه گراف از بنیادی‌ترین شاخه‌های ریاضیات گسسته است که کاربردهای وسیعی در علوم رایانه، مهندسی، زیست‌شناسی و علوم اجتماعی دارد. با ظهور کلان‌داده و شبکه‌های پیچیده (مانند شبکه‌های اجتماعی، شبکه‌های زیستی و شبکه‌های ارتباطی)، مطالعه روی ساختار و پویایی این شبکه‌ها به یک حوزهٔ پژوهشی پرتقاضا تبدیل شده است.

چالش اصلی در این حوزه، مدل‌سازی و تحلیل ویژگی‌های توپولوژیکی شبکه‌های بسیار بزرگ و پویاست. روش‌های سنتی تحلیل گراف در مواجهه با داده‌های مقیاس بزرگ ناکارآمد می‌شوند و نیاز به الگوریتم‌های بهینه‌سازی جدید وجود دارد.

بنابراین تحقیقات در مقاطع تحصیلات تکمیلی می‌تواند روی توسعه روش‌های نوین برای تحلیل گراف‌های پویا، شناسایی اجتماع‌ها (community detection) و بررسی مقاومت شبکه‌ها در برابر حملات و اختلال‌ها متمرکز شود.

۲. یادگیری ماشین ریاضی و بهینه‌سازی (Mathematical Machine Learning & Optimization)

یادگیری ماشین و هوش مصنوعی به شدت به ریاضیات، به‌ویژه نظریه احتمالات، آمار و بهینه‌سازی متکی هستند. در سال‌های اخیر، توسعه الگوریتم‌های یادگیری عمیق و تقویتی، پرسش‌های نوینی در زمینهٔ پایداری، همگرایی و پیچیدگی محاسباتی مطرح کرده است.

یکی از مسائل مهم، طراحی الگوریتم‌هایی است که در عین کارایی بالا، تضمین‌های ریاضی قوی در مورد دقت و سرعت همگرایی داشته باشند. علاوه بر این، نیاز به مدل‌هایی وجود دارد که بتوانند داده‌های نامتقارن یا با نویز زیاد را به درستی پردازش کنند.

این حوزه به‌ویژه در گرایش ریاضیات کاربردی و محاسباتی، بستری مناسب برای پژوهش‌های ارشد و دکتری فراهم کرده است و می‌تواند به توسعه نسل جدیدی از الگوریتم‌های پایدار و مقاوم منجر شود.

۳. ریاضیات مالی و مدل‌سازی عدم قطعیت (Financial Mathematics & Uncertainty Modeling)

بازارهای مالی مدرن با حجم عظیمی از داده‌ها و عدم قطعیت‌های بالا مواجه هستند. مدل‌های سنتی مانند بلک-شولز در بسیاری از موارد کارایی خود را از دست داده‌اند و نمی‌توانند نوسانات و رفتارهای غیرخطی بازار را به‌خوبی پیش‌بینی کنند.

پژوهش‌های اخیر تمرکز زیادی بر توسعه مدل‌های تصادفی، فرآیندهای لوی و روش‌های یادگیری ماشین برای تحلیل داده‌های مالی داشته‌اند. با این حال، هنوز مسائل حل‌نشده‌ای در زمینهٔ مدیریت ریسک، پیش‌بینی بحران‌های مالی و شناسایی حباب‌های قیمتی وجود دارد.

دانشجویان تحصیلات تکمیلی می‌توانند در این حوزه با ترکیب ابزارهای نظریه احتمال، آنالیز تصادفی و مدل‌سازی ریاضی، به ارائه مدل‌های پیشرفته‌تر برای تحلیل و پیش‌بینی بازارهای مالی بپردازند.

۴. هندسه جبری و کاربردهای آن در رمزنگاری (Algebraic Geometry & Cryptography)

هندسه جبری که در گذشته بیشتر یک شاخهٔ انتزاعی و نظری به‌شمار می‌رفت، امروزه کاربردهای قابل‌توجهی در علوم کامپیوتر و رمزنگاری پیدا کرده است. به‌ویژه منحنی‌های بیضوی و گونه‌های جبری در طراحی سیستم‌های رمزنگاری مدرن نقشی کلیدی دارند.

با توجه به تهدیدهای آیندهٔ محاسبات کوانتومی، بسیاری از الگوریتم‌های رمزنگاری کلاسیک ممکن است در معرض خطر قرار گیرند. به همین دلیل، پژوهش در حوزه رمزنگاری پساکوانتومی (Post-Quantum Cryptography) به شدت اهمیت یافته است.

یکی از زمینه‌های مهم پژوهشی، بررسی خواص ریاضی ساختارهای جبری و طراحی سیستم‌های رمزنگاری امن‌تر بر اساس این ساختارهاست؛ که برای پایان‌نامه‌های ارشد و دکتری در ریاضیات محض و کاربردی بسیار مناسب است.

۵. معادلات دیفرانسیل و سیستم‌های دینامیکی در علوم بین‌رشته‌ای (Differential Equations & Dynamical Systems)

معادلات دیفرانسیل و سیستم‌های دینامیکی ابزار اصلی مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی و مصنوعی هستند. از بیولوژی و پزشکی گرفته تا فیزیک و مهندسی، بسیاری از فرآیندهای پیچیده را می‌توان با این زبان ریاضی توصیف کرد.

با این حال، پیچیدگی مدل‌ها و غیرخطی بودن آن‌ها باعث می‌شود حل دقیق و حتی عددی بسیاری از این معادلات دشوار باشد. توسعه روش‌های عددی کارآمدتر و الگوریتم‌های پایدارتر برای حل این سیستم‌ها یک چالش اساسی محسوب می‌شود.

پژوهش‌های جدید به‌ویژه روی سیستم‌های آشوبی، مدل‌های اپیدمیولوژیک (مثل کووید-۱۹) و سیستم‌های اقلیمی متمرکز شده‌اند و می‌توانند بستری ایده‌آل برای تحقیقات تحصیلات تکمیلی باشند.

پروپوزال خلاصه شامل:

• سؤال پژوهش (RQ)

• فرضیات پژوهش (Hypotheses)

• مدل مفهومی (Conceptual Model)

• ماتریس مرور پیشینه (Literature Review Matrix)

📊 پروپوزال‌های خلاصه ریاضی

۱. نظریه گراف و شبکه‌های پیچیده

RQ: چگونه می‌توان الگوریتم‌های جدیدی برای تحلیل شبکه‌های پویا و پیچیده توسعه داد تا کارایی و دقت بیشتری در شناسایی اجتماع‌ها و مقاومت شبکه‌ها ارائه شود؟
فرضیات:

• الگوریتم‌های مبتنی بر یادگیری ماشین در تشخیص اجتماع‌ها دقت بالاتری دارند.

• مدل‌سازی توپولوژیکی می‌تواند تاب‌آوری شبکه‌ها در برابر حملات را پیش‌بینی کند.
  مدل مفهومی:
  ورودی (داده‌های شبکه) ➝ الگوریتم پیشنهادی ➝ تحلیل اجتماع/تاب‌آوری ➝ خروجی (کارایی و دقت بالا)
  ماتریس مرور پیشینه:
  | نویسنده | موضوع | روش | نتیجه | شکاف پژوهش |
  |---------|-------|------|--------|-------------|
  | Newman (2010) | تحلیل شبکه‌های اجتماعی | الگوریتم اجتماع | شناسایی خوشه‌ها | ضعف در داده‌های پویا |
  | Fortunato (2016) | جامعه‌شناسی شبکه‌ها | گراف‌های پیچیده | مدل‌سازی ساختار | عدم مقیاس‌پذیری |
  | Student (2025) | شبکه‌های پویا | الگوریتم ترکیبی | دقت و سرعت بیشتر | — |

۲. یادگیری ماشین ریاضی و بهینه‌سازی

RQ: چه روش‌های بهینه‌سازی جدیدی می‌تواند دقت و پایداری الگوریتم‌های یادگیری ماشین را افزایش دهد؟
فرضیات:

• استفاده از بهینه‌سازی محدب باعث همگرایی سریع‌تر می‌شود.

• الگوریتم‌های مقاوم در برابر داده‌های نویزی عملکرد بهتری دارند.
  مدل مفهومی:
  ورودی (داده خام) ➝ الگوریتم بهینه‌سازی پیشنهادی ➝ مدل یادگیری ➝ خروجی (دقت و پایداری بالا)
  ماتریس مرور پیشینه:
  | نویسنده | موضوع | روش | نتیجه | شکاف پژوهش |
  |---------|-------|------|--------|-------------|
  | Boyd (2011) | بهینه‌سازی محدب | الگوریتم گرادیان | همگرایی بالا | نیاز به تعمیم به داده‌های بزرگ |
  | Goodfellow (2016) | یادگیری عمیق | شبکه‌های عصبی | دقت بالا | ضعف در نویز بالا |
  | Student (2025) | بهینه‌سازی مقاوم | ترکیبی | عملکرد پایدارتر | — |

۳. ریاضیات مالی و مدل‌سازی عدم قطعیت

RQ: چگونه می‌توان مدل‌های جدید تصادفی برای تحلیل بهتر نوسانات بازار مالی طراحی کرد؟
فرضیات:

• فرآیندهای لوی می‌توانند توزیع‌های سنگین‌دم را بهتر مدل کنند.

• ترکیب یادگیری ماشین و ریاضیات مالی منجر به پیش‌بینی دقیق‌تر می‌شود.
  مدل مفهومی:
  ورودی (داده‌های مالی) ➝ مدل تصادفی/یادگیری ➝ تحلیل ریسک و نوسان ➝ خروجی (پیش‌بینی دقیق‌تر)
  ماتریس مرور پیشینه:
  | نویسنده | موضوع | روش | نتیجه | شکاف پژوهش |
  |---------|-------|------|--------|-------------|
  | Black & Scholes (1973) | قیمت‌گذاری آپشن | PDE | کاربردی | ضعف در شرایط واقعی |
  | Merton (1998) | فرآیندهای تصادفی | مدل‌های پیشرفته | تحلیل ریسک | عدم لحاظ بحران‌ها |
  | Student (2025) | مدل ترکیبی | ماشین لرنینگ | دقت بالاتر | — |

۴. هندسه جبری و رمزنگاری

RQ: چگونه می‌توان از ساختارهای جبری پیشرفته برای توسعه الگوریتم‌های امن‌تر رمزنگاری پساکوانتومی استفاده کرد؟
فرضیات:

• منحنی‌های بیضوی پیشرفته قابلیت افزایش امنیت دارند.

• رمزنگاری پساکوانتومی نیازمند طراحی ساختارهای جبری نوین است.
  مدل مفهومی:
  ورودی (ساختار جبری) ➝ الگوریتم رمزنگاری پیشنهادی ➝ تحلیل امنیت ➝ خروجی (رمزنگاری مقاوم‌تر)
  ماتریس مرور پیشینه:
  | نویسنده | موضوع | روش | نتیجه | شکاف پژوهش |
  |---------|-------|------|--------|-------------|
  | Koblitz (1987) | رمزنگاری بیضوی | ECC | امنیت بالا | تهدید کوانتومی |
  | Bernstein (2017) | رمزنگاری پساکوانتومی | کدهای جبری | مقاوم | پیچیدگی بالا |
  | Student (2025) | هندسه جبری پیشرفته | الگوریتم نوین | امنیت بالاتر | — |

۵. معادلات دیفرانسیل و سیستم‌های دینامیکی

RQ: چگونه می‌توان روش‌های عددی جدید برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی و آشوبی توسعه داد؟
فرضیات:

• الگوریتم‌های مبتنی بر شبکه‌های عصبی می‌توانند تقریب‌های بهتری ارائه دهند.

• روش‌های ترکیبی کلاسیک-محاسباتی سرعت و دقت بالاتری دارند.
  مدل مفهومی:
  ورودی (معادله دیفرانسیل) ➝ روش عددی پیشنهادی ➝ تحلیل پویایی ➝ خروجی (پایداری و دقت بالاتر)
  ماتریس مرور پیشینه:
  | نویسنده | موضوع | روش | نتیجه | شکاف پژوهش |
  |---------|-------|------|--------|-------------|
  | Runge-Kutta (1900s) | حل عددی | روش کلاسیک | دقت متوسط | ضعف در آشوب |
  | Strogatz (1994) | سیستم‌های دینامیکی | مدل‌سازی | تبیین نظری | کمبود الگوریتم‌های نوین |
  | Student (2025) | ترکیب محاسباتی | الگوریتم نو | پایداری بالاتر | — |